Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點A（-1，0），與y軸交于點C（0，3），且對稱軸方程為x=1
（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）本題須根據拋物線與x軸的交點和對稱軸方程即可得出拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為．
（2）本題須根據A、C、B的坐標運用待定系數法即可求出求拋物線的解析式．
（3）本題須分以CD為底邊和以CD為一腰兩種情況分類討論，即可得出△PDC是等腰三角形符合條件的點P的坐標．
（4）本題須根據勾股定理，∠BCD=90° 再由拋物線對稱性可知點坐標M為（2，3）．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（-1，0），對稱軸方程為x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（3，0）．

（2）∵拋物線與y軸交于點C（0，3），∴設拋物線解析式為 y=ax²+bx+3（a不等于0）根據題意，得 a-b+3=0 9a+3b+3=0 解得 a=-1，b=2，∴拋物線的解析式為 y=-x²+2x+3

（3）存在由y=-x²+2x+3得，D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1
①若以CD為底邊，則PD=PC，設P點坐標為（x，y）根據勾股定理得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）² 即y=4-x 又P點（x，y）在拋物線上，
∴4-x=-x²+2x+3，即 x²-3x+1=0 解得 x=

3± 5

2

，

3- 5

2

＜1 （舍去）∴x=

3+ 5

2

∴y=4-x=

5- 5

2

，
即點P坐標為 （

3+ 5

2

，

5- 5

2

）
②若以CD為一腰，因為點P在對稱軸右側的拋物線上，
由拋物線對稱性知，點P與點C關于直線x=1對稱，此時點P坐標為（2，3）
∴符合條件的點P坐標為（

3+ 5

2

，

5- 5

2

） 或（2，3）

（4）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據勾股定理，得CB=3

2

，CD=

2

，BD=2

5

∴CD²+CB²=BD²=20
∴∠BCD=90°
設對稱軸交x軸于點E，過C作CM⊥DE，交拋物線于點M，垂足為F，在Rt△DCF中∵CF=DF=1∴∠CDF=45°
由拋物線對稱性可知，∠CDM=2×45°=90°，點坐標M為（2，3）
∴DM∥BC∴四邊形BCDM為直角梯形由∠BCD=90°及題意可知以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況；以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，在解題時要注意二次函數的有關性質以及數形結合思想、分類討論思想的應用．