Question

【題目】如圖，直線y＝x＋b與拋物線y＝x2＋x＋c相交于點A（6，8）與點B，P是線段AB的中點，D是拋物線上的一個動點，直線DP交x軸于點C．

（1）分別求出這兩個函數的關系式，并寫出點B，P的坐標．

（2）四邊形ACBD能否成為平行四邊形？若能，請求出線段OC的長度；若不能，請說明理由．

（3）當點D的坐標為（4，2）時，△APD是什么特殊三角形？請說明理由，并寫出所有符合這一特殊性的點D的坐標．

　　　　

Answer 1

【答案】（1）（－4，－2），（1，3）；（2）OC＝－3或＋3；（3）符合△APD是直角三角的點D還有：（－12，26），（－3＋，7－），（－3－，7＋）．

【解析】

（1）利用待定系數法,把點A的坐標分別代入y＝x＋b和y＝x2＋x＋c,

得b＝2,c＝－4,求得函數關系式為:y＝x＋2,y＝x2＋x－4,從而求出點B,P的坐標分別為（－4,－2）,（1,3）,

（2）作PE⊥x軸于E,DF⊥x軸于F,則DF＝2PE＝6,當y＝6時,x2＋x－4＝6,解得x＝－1±,然后分情況討論:當點C在直線AB的左側時（如答圖1）,OF＝－1,進而可得:CE＝EF＝OF－OE＝(－1)－1＝－2．因此可得:OC＝CE－OE＝(－2)－1＝－3;當點C在直線AB的左側時（如答圖2）,OF＝＋1,進而可得:CE＝EF＝OF＋OE＝(＋1)＋1＝＋2,從而可得:OC＝CE＋OE＝(＋2)＋1＝＋3.

（3）作PE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,AG⊥BC于G,過點D作MN分別垂直AG,PE于M,N,可得:EN＝DF＝MG＝2,DN＝EF＝OF－OE＝3,DM＝FG＝6－4＝2,AM＝AG－MG＝6進而可得:DP＝,AD＝2,根據AP＝5,可得:DP2＋AD2＝AP2,根據勾股定理逆定理可得:∠ADP＝90,即△APD是直角三角形,符合△APD是直角三角的點D還有:（－12,26）,（－3＋,7－）,（－3－,7＋）.

（1）把點A的坐標分別代入y＝x＋b和y＝x2＋x＋c,

得b＝2,c＝－4,

∴y＝x＋2,y＝x2＋x－4,

點B,P的坐標分別為（－4,－2）,（1,3）,

（2）作PE⊥x軸于E,DF⊥x軸于F,則DF＝2PE＝6,

當y＝6時,x2＋x－4＝6,解得x＝－1±,

當點C在直線AB的左側時（如答圖1）,OF＝－1,

∴CE＝EF＝OF－OE＝(－1)－1＝－2．

∴OC＝CE－OE＝(－2)－1＝－3．

當點C在直線AB的左側時（如答圖2）,OF＝＋1，

∴CE＝EF＝OF＋OE＝(＋1)＋1＝＋2,

∴OC＝CE＋OE＝(＋2)＋1＝＋3．

綜上所述,OC＝－3或＋3,

　　

答圖1 　 　答圖2　　　　　 　　答圖3

（3）當點D的坐標為（4,2）時,△APD是直角三角形,理由如下:

如答圖3,作PE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,AG⊥BC于G,

過點D作MN分別垂直AG,PE于M,N,

則EN＝DF＝MG＝2,DN＝EF＝OF－OE＝3,DM＝FG＝6－4＝2,

AM＝AG－MG＝6．

∴DP＝,AD＝2,

∵AP＝5,

∴DP2＋AD2＝AP2,

∴∠ADP＝90,即△APD是直角三角形（用相似證明同樣給分）,

符合△APD是直角三角的點D還有:（－12,26）,（－3＋,7－）,

（－3－,7＋）.