Question

【題目】如圖， 是⊙的直徑， 是⊙的切線， 為切點， 交⊙于點．

（Ⅰ）若為的中點，證明： 是⊙的切線．

（Ⅱ）若， ，求的度數．

Answer 1

【答案】（）證明見解析；（）．

【解析】試題分析：（1）由AB是⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，根據直角三角形的性質得到AD=DE，求得∠DAE=∠AED，根據切線的性質得到∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，等量代換得到∠DEO=90°，于是得到結論；

（2）根據射影定理得到AB2=BEBC，求得BE=3，（負值舍去），得到BC=4，根據三角函數的定義即可得到結論．

試題解析：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠AEC=90°，∵D為AC的中點，∴AD=DE，∴∠DAE=∠AED，∵AC是⊙O的切線，∴∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠DEA+∠OEA=90°，∴∠DEO=90°，∴DE是⊙O的切線；

（2）∵OA=，∴AB=，∵∠CAB=90°，AE⊥BC，∴AB2=BEBC，即（）2=BE（BE+1），∴BE=3，（負值舍去），∴BC=4，∵sin∠ACB=，∴∠ACB=60°．