Question

【題目】圖①是一張∠AOB＝45°的紙片折疊后的圖形，P、Q分別是邊OA、OB上的點，且OP＝2cm．將∠AOB沿PQ折疊，點O落在紙片所在平面內的C處(點C在∠AOB的內部或一邊上)．

(1)當PC∥QB時，OQ＝　 　cm．

(2)當折疊后重疊部分為等腰三角形時，畫出示意圖，寫出OQ的長．

Answer 1

【答案】(1)2；(2)畫圖見解析，OQ的長為2cm或cm或2cm．

【解析】

（1）由平行線的性質得出∠O＝∠CPA，由折疊的性質得出∠C＝∠O，OP＝CP，證出∠CPA＝∠C，得出OP∥QC，證出四邊形OPCQ是菱形，得出OQ＝OP＝2cm即可；

（2）當折疊后重疊部分為等腰三角形時，符合條件的點Q共有3個；依據點C在∠AOB的內部或一邊上，由折疊的性質、三角形內角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的長．

(1)當PC∥QB時，∠O＝∠CPA，

由折疊的性質得：∠C＝∠O，OP＝CP，

∴∠CPA＝∠C，

∴OP∥QC，

∴四邊形OPCQ是平行四邊形，

∴四邊形OPCQ是菱形，

∴OQ＝OP＝2cm；

故答案為：2；

(2)當點C在∠AOB的內部或一邊上時，則重疊部分即為△CPQ．

因為△CPQ是由△OPQ折疊得到，所以當△OPQ為等腰三角形時，重疊部分必為等腰三角形．

分三種情況：

①當PQ＝PO時，OQ＝OP＝2cm，

②當QO＝QP時，OQ＝OP＝cm，

③當OQ＝OP時，OQ＝OP＝2cm．

綜上所述：當折疊后重疊部分為等腰三角形時，OQ的長為2cm或cm或2cm．