Question

【題目】在平面宜角坐標系xOy中，直線y=x+4與x軸，y軸交于點A，B．第一象限內有一點P（m，n），正實數m，n滿足4m+3n=12

（1）連接AP，PO，△APO的面積能否達到7個平方單位？為什么？

（2）射線AP平分∠BAO時，求代數式5m+n的值；

（3）若點A′與點A關于y軸對稱，點C在x軸上，且2∠CBO+∠PA′O=90°，小慧演算后發現△ACP的面積不可能達到7個平方單位．請分析并評價“小薏發現”．

Answer 1

【答案】（1）不能；（2）9；（3）見解析.

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A的坐標，由△APO的面積等于7個平方單位可求出n值，代入4m+3n=12中可求出m值為負，由此可得出△APO的面積不能達到7個平方單位；

（2）設AP與y軸交于點E，過點E作EF⊥AB于點F，利用面積法及角平分線的性質可求出點E的坐標，由點A，E的坐標，利用待定系數法可求出直線AP的解析式，由m，n滿足4m+3n=12可得出直線BP的解析式，聯立直線AP，BP的解析式成方程組，通過解方程組可求出m，n的值，再將其代入5m+n中即可得出結論；

（3）當點C在x軸正半軸時，由2∠CBO+∠PA′O=90°可得出BC平分∠OBA′，同（2）可求出C的坐標，進而可求出AC的長，利用三角形的面積公式可求出△ACB的面積，由該值大于7可得出：存在點P，使得△ACP的面積等于7個平方單位；當點C在x軸正半軸時，利用對稱可得出點C的坐標，進而可求出AC的長，利用三角形的面積公式可求出△ACB的面積，由該值小于7可得出：此種情況下，△ACP的面積不可能達到7個平方單位．綜上，此題得解．

（1）△APO的面積不能達到7個平方單位，理由如下：

當y=0時，x+4=0，解得：x=-3，

∴點A的坐標為（-3，0）．

∴S△APO=OAn=7，即n=7，

∴n=．

又∵4m+3n=12，

∴m=-2，這與m為正實數矛盾，

∴△APO的面積不能達到7個平方單位．如圖1，

（2）設AP與y軸交于點E，過點E作EF⊥AB于點F，如圖2所示．

當x=0時，y=x+4=4，

∴點B的坐標為（0，4），

∴AB==5．

∵AP平分∠BAO，

∴EO=EF．

∵S△ABE=BEOA=ABEF，S△AOE=EOOA，

∴，即，

∴EO=，

∴點E的坐標為（0，）．

設直線AP的解析式為y=kx+b（k≠0），

將A（-3，0），E（0，）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直線AP的解析式為y=x+．

∵點P的坐標為（m，n），m，n滿足4m+3n=12，

∴點P在直線y=-x+4上．

聯立直線AP，BP的解析式成方程組，得：

，

解得：，

∴m=，n=，

∴5m+n=9．

（3）“小薏發現”不對，理由如下：

依照題意，畫出圖形，如圖3所示．

∵2∠CBO+∠PA′O=90°，∠OBA′+∠PA′O=90°，

∴∠OBA′=2∠CBO．

∵點A′與點A關于y軸對稱，

∴點A′的坐標為（3，0），點P在線段BA′上．

當點C在x軸正半軸時，BC平分∠OBA′，

同（2）可得出：，即，

∴OC=，

∴點C的坐標為（，0），

∴AC=．

∵S△ACB=ACOB=××4=＞7，

∴不存在點P，使得△ACP的面積等于7個平方單位；

當點C在x軸負半軸時，點C的坐標為（-，0），

∴AC=．

∵S△ACB=ACOB=××4=＜7，

∴此種情況下，△ACP的面積不可能達到7個平方單位．

綜上所述：“小薏發現”不正確．