Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點E，與CD相交于點F，H是邊BC的中點，連接 DH與 BE相交于點 G，若GE＝3，則BF＝_____．

Answer 1

【答案】6

【解析】

求出 BG＝GC，求出∠EGC＝∠ECG，推出 CE＝GE，進而利用等腰三角形的性質和全等三角形的判定和性質解答即可．

解：連接 CG，

∵BD＝DC，H 為 BC 中點，

∴DH 為 BC 垂直平分線，

∴BG＝CG，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠GCB，

∵∠ABC＝45°，∠ABE＝∠CBE，

∴∠EGC＝∠CBE+∠GCB＝45°，

∵∠GEC＝90°，

∴∠ECG＝45°＝∠EGC，

∴GE＝CE＝3．

∵BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于點 E，

∴AE＝EC＝3，

∴AC＝6，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠DCB＝45°＝∠DBC，

∴BD＝DC，

在△BDF 和△CEF 中，

∵∠BDC＝∠BEC＝90°，∠DFB＝∠EFC，

∴∠DBF＝∠ECF， 在△BDF 和△CDA 中

∴△BDF≌△CDA（ASA），

∴BF＝AC＝6； 故答案為：6；