Question

【題目】已知拋物線y=-(x-m)2+1與x軸的交點為A，B(B在A的右邊)，與y軸的交點為C.

（1）寫出m=1時與拋物線有關的三個正確結論；

（2）當點B在原點的右邊，點C在原點下方時，是否存在△BOC為等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在△BOC為等腰三角形的情形，此時m=2.

【解析】試題分析：（1）將m=1代入y=-（x-m）2+1化簡可得拋物線的解析式為y=-x2+2x；

（2）存在．令y=0時得出（x-m）2=1得出A，B的坐標．令x=0時得出點C在原點下方得出OC=m2-1，求出m的實際值.

試題解析：（1）當m=1時，拋物線的解析式為y=x2+2x.正確的結論有：

①頂點坐標為(1，1)；②圖象開口向下；③圖象的對稱軸為x=1；④函數有最大值1；⑤當x＜1時；y隨 x的增大而增大；⑥當x＞1時；y隨x的增大而減小等（任選3個即可）；

（2）存在。

當y=0時，(xm)2+1=0，即有(xm)2=1.

∴x1=m1，x2=m+1.

∵點B在點A的右邊，

∴A(m1，0)，B(m+1，0)，

∵點B在原點右邊，

∴OB=m+1

∵當x=0時，y=1m2，點C在原點下方，

∴OC=m21.

當m21=m+1時，m2m2=0，

∴m=2或m=1(因為對稱軸在y軸的右側，m>0，所以不合要求，舍去)，

∴存在△BOC為等腰三角形的情形，此時m=2.