Question

【題目】如圖，在中，，點、分別是邊、的中點，延長至，使得，連接、．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）當，時，判斷的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）是底角為的等腰三角形，解析解析

【解析】

（1）由“ASA“可證△AEF≌△CED，可得AF=CD，根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

（2）由勾股定理可求AB的長，由中位線定理可求DF=DB=5，即可求解．

（1）∵AF∥CD，

∴∠EAF=∠ECD，

∵E是AC中點，

∴AE=EC，

在△AEF和△CED中，

∴△AEF≌△CED(ASA)，

∴AF=CD，

∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∵∠ACB=，AD=DB，

∴CD=AD=BD，

∴四邊形AFCD是菱形．

（2）∵∠ACB=，AC=，BC=5，

∴AB=

∵點D，E分別是邊AB，AC的中點，
∴BC=2DE，DB=AB=5，

∵四邊形AFCD是菱形，

∴DF=2DE=BC=5，

∴DF=DB，

∴△DFB是等腰三角形．