Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點為A，經過點B（0，3）和點（2，3），與x軸交于C，D兩點，（點C在點D的左側），且OD=OB．

（1）求這條拋物線的表達式；
（2）連接AB，BD，DA，試判斷△ABD的形狀；
（3）點P是BD上方拋物線上的動點，當P運動到什么位置時，△BPD的面積最大？求出此時點P的坐標及△BPD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（0，3）和點（2，3）的縱坐標相同，

∴拋物線的對稱軸為x=1，OB=3．

∵OD=OB，

∴OD=3．

∵拋物線與x軸交于C，D兩點，（點C在點D的左側），

∴D（3，0）．

將點B（0，3）、（2，3）、（3，0）代入拋物線的解析式得： ，

解得：a=﹣1，b=2，c=3．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴點A的坐標為（1，4）．

依據兩點間的距離公式可知：AB2=（1﹣0）2+（4﹣3）2=2，AD2=（3﹣1）2+（4﹣0）2=20，BD2=（3﹣0）2+（0﹣3）2=18，

∴AB2+BD2=AD2．

∴△ABD為直角三角形

（3）

解：如圖所示：連結OP．

設點P的坐標為（x，﹣x2+2x+3）．

△DBP的面積=△OBP的面積+△ODP的面積﹣△BOD的面積

= ×3×x+ ×3×（﹣x2+2x+3）﹣ ×3×3

=﹣ x2+ x

=﹣ （x﹣ ）2+ ．

∴當x= 時，△DBP的面積最大，最大值為 ．

將x= 代入拋物線的解析式得y= ，

∴點P的坐標為（ ， ）

【解析】（1）由點B的坐標可知OB=3，OD=3，故此可得到點D的坐標，然后利用待定系數法求解即可；（2）先由拋物線的解析式求得點A的坐標，然后利用兩點間的距離公式可求得AB、AD、BD的長，最后利用勾股定理的逆定理進行判斷即可（3）如圖所示：連結OP．設點P的坐標為（x，﹣x2+2x+3）．依據△DBP的面積=△OBP的面積+△ODP的面積﹣△BOD的面積，列出△DBP的面積與x的函數關系式，然后依據二次函數的性質求解即可．