Question

【題目】已知關于x的方程x2＋ax＋b＝0（b≠0）與x2＋cx＋d＝0都有實數根，若這兩個方程有且只有一個公共根,且ab＝cd，則稱它們互為“同根輪換方程”．如x2－x－6＝0與x2－2x－3＝0互為“同根輪換方程”．

（1）若關于x的方程x2＋4x＋m＝0與x2－6x＋n＝0互為“同根輪換方程”，求m的值；

（2）已知方程①：x2＋ax＋b＝0和方程②：x2＋2ax＋b＝0，p、q分別是方程①和方程②的實數根，且p≠q，b≠0．試問方程①和方程②是否能互為“同根輪換方程”？如果能，用含a的代數式分別表示p和q；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，①， ②， ③，

【解析】試題分析：（1）根據方程x2+4x+m=0與x2-6x+n=0互為“同根輪換方程”，得到m、n之間的關系為4m=-6n．然后設t是公共根，則有t2+4t+m=0，t2-6t+n=0，于是得到結論；（2）根據x2-x-6=0與x2-2x-3=0互為“同根輪換方程”，得到它們的公共根是3，從而得到當p=q=-3a時，有9a2-3a2+b=0．解得，b=-6a2．解得，p=-3a，x1=2a；q=-3a，x2=a，從而證得方程x2+ax+b=0（b≠0）與x2+2ax+b=0互為“同根輪換方程”．

試題解析：(1)∵方程x2+4x+m=0與x26x+n=0互為“同根輪換方程”，

∴4m=6n.

設t是公共根,則有t2+4t+m=0,t26t+n=0.

解得,t=.

∵4m=6n.∴t=.

∴()2+4()+m=0.

∴m=12.

(2)∵x2x6=0與x22x3=0互為“同根輪換方程”，

它們的公共根是3.

而3=(3)×(1)=3×(1).

又∵x2+x6=0與x2+2x3=0互為“同根輪換方程”。

它們的公共根是3.

而3=3×1.

∴當p=q=3a時，

有9a23a2+b=0.

解得：b=6a2.

∴x2+ax6a2=0，x2+2ax3a2=0.

解得：p=3a，x1=2a，q=3a，x2=a.

∵b≠0，

∴6a2≠0，

∴a≠0.

∴2a≠a.即x1≠x2.

又∵2a×b=ab，

∴方程x2+ax+b=0(b≠0)與x2+2ax+12b=0能為“同根輪換方程”，p=q=3a.