Question

【題目】如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點E、H分別在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．

（1）求證：△AEH∽△ABC；
（2）求這個正方形的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，

∴△AEH∽△ABC；

（2）證明：∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，

∴四邊形EFDM是矩形，

∴EF＝DM.設正方形EFGH的邊長為xcm，

∵△AEH∽△ABC，∴ ，∴ ，解得x＝ .

∴正方形EFGH的邊長為 cm，面積為 cm2.

【解析】（1）由正方形的性質證得EH∥BC，根據平行線的性質證得兩組對應角相等，即可得出結論。
（2）先證明四邊形EFDM是矩形，得出EF＝DM，因此設正方形的邊長，就可表示出AM的長，再根據相似三角形的性質：相似三角形的對應邊上的高之比等于相似比，建立方程，即可求出結果。