Question

【題目】若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們為“友好拋物線”，拋物線C1：y1=﹣2x2+4x+2與C2：u2=﹣x2+mx+n為“友好拋物線”．

（1）求拋物線C2的解析式．

（2）點A是拋物線C2上在第一象限的動點，過A作AQ⊥x軸，Q為垂足，求AQ+OQ的最大值．

（3）設拋物線C2的頂點為C，點B的坐標為（﹣1，4），問在C2的對稱軸上是否存在點M，使線段MB繞點M逆時針旋轉90°得到線段MB′，且點B′恰好落在拋物線C2上？若存在求出點M的坐標，不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）u2=﹣x2+2x+3；（2）；（3）M（1，2）或（1，5）.

【解析】

試題分析：（1）先求出C1頂點，再根據它們是“友好拋物線”，可直接得出C2的頂點式，再化成一般式即可；（2）利用函數求最大值，令設A（a，﹣a2+2a+3）．則OQ=x，AQ=﹣a2+2a+3，得到OQ+AQ與a的函數關系式，再利用函數極值求得OQ+AQ的最值；（3）連接BC，過點B′作B′D⊥CM，垂足為D．則△BCM≌△MDB′，所以BC=MD，CM=B′D，設點M的坐標為（1，a）．表示出點B′的坐標，將點B′的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到點M的坐標．

試題解析： （1）∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，∴拋物線C1的頂點坐標為（1，4）．∵拋物線C1與C2頂點相同，∴ u2=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，∴拋物線C2的解析式為u2=﹣x2+2x+3．（2）如圖1， 設點A的坐標為（a，﹣a2+2a+3）．∴AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=．

∴當a=時，AQ+OQ有最大值，最大值為．（3）如圖2，連接BC，過點B′作B′D⊥CM，垂足為D．

∵B（﹣1，4），C（1，4），拋物線的對稱軸為x=1，∴BC⊥CM，BC=2．∵∠BMB′=90°，∴∠BMC+∠B′MD=90°．

∵B′D⊥MC，∴∠MB′D+∠B′MD=90°．∴∠MB′D=∠BMC．∵BM=B′M，∴△BCM≌△MDB′．∴BC=MD，CM=B′D．

設點M的坐標為（1，a）．則B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．∴點B′的坐標為（a﹣3，a﹣2）．∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．解得a1=2，a2=5．當a=2時，M的坐標為（1，2），當a=5時，M的坐標為（1，5）．

綜上所述當點M的坐標為（1，2）或（1，5）時，B′恰好落在拋物線C2上．