Question

【題目】在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB上一動點，E為AD中點，PE交CD延長線于Q，過E作EF⊥PQ交BC延長線于F，則下列結(jié)論：①△APE△DQE；②PQ=EF；③當P為AB中點時，CF= ；④若H為QC中點，當P從A移動到B時，線段EH掃過的面積為 .其中正確的是（ ）

A.①②
B.①②④
C.②③④
D.①②③

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，
∵∠A＝∠EDQ， AE=ED,∠AEP＝∠DEQ，
∴△AEP≌△DEQ，故①正確；
②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，EM與PG交于點N，

∴∠PGQ=∠EMF=90°．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF=90°，即∠PEN+∠NEF=90°，
∵∠NPE+∠NEP=90°，
∴∠NPE=∠NEF，
∵四邊形 ABCD 是正方形，∴PG=EM．
在△EFM 和△PQG中，
∠PGQ＝∠EMF , PG = ME,∠NPE=∠NEF，
∴△EFM≌△PQG，∴EF=PQ，故②正確
③連結(jié)QF，由PG⊥CD，且PE=EQ（由△AEP≌△DEQ可得），
則QF=PF，
則PB2+BF2=QC2+CF2 ，
設(shè)CF=x,列出方程得，（2+x）2+12=32+x2 ， 解得x=1，故③錯誤；
④當P在A點時，Q與D重合，QC中點H在DC中點S處，當P移動到B點時，QC中點H與D重合，故EH掃過的部分就為△ESD的面積為 ×ED×DS= ×1×1= ，故④正確.故選B.
①根據(jù)正方形的性質(zhì)易得∠A＝∠EDQ，再由對頂角相等，中點的定義即可證得全等；②需要構(gòu)造全等三角形；③由三線合一可證得PF=QF，再由勾股定理列方程求解；④CD的中點始終在CD邊上，則EH掃過的部分是一個三角形，由DE⊥CD可得DE為該三角形的高，根據(jù)點P的初始位置和終點可以找出點H的初始位置和終點，則它們的距離即H所走過的路程即為三角形的底，再求面積即可.