Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD為⊙O內接四邊形，連接AC、CO、BO，點C為弧BD的中點．

（1）求證：∠DAC=∠ACO+∠ABO；

（2）如圖2，點E在OC上，連接EB，延長CO交AB于點F，若∠DAB=∠OBA+∠EBA．求證：EF=EB；

（3）在（2）的條件下，如圖3，若OE+EB=AB，CE=2，AB=13，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AD=7．

【解析】試題分析：（1）如圖1中，連接OA，只要證明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，由點C是 中點，推出 ，推出∠BAC=∠DAC，即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO；

（2）想辦法證明∠EFB=∠EBF即可；

（3）如圖3中，過點O作OH⊥AB，垂足為H，延長BE交HO的延長線于G，作BN⊥CF于N，作CK⊥AD于K，連接OA．作CT∠⊥AB于T．首先證明△EFB是等邊三角形，再證明△ACK≌△ACT，Rt△DKC≌Rt△BTC，延長即可解決問題；

試題解析：（1）如圖1中，連接OA，

∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，

∵OA=OB，∴∠2=∠ABO，∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，

∵點C是中點，∴，∴∠BAC=∠DAC，

∴∠DAC=∠ACO+∠ABO．

（2）如圖2中，

∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB，∠COB=2∠BAC，∴∠BAD=∠BOC，

∵∠DAB=∠OBA+∠EBA，∴∠BOC=∠OBA+∠EBA，

∴∠EFB=∠EBF，∴EF=EB．

（3）如圖3中，過點O作OH⊥AB，垂足為H，延長BE交HO的延長線于G，作BN⊥CF于N，作CK⊥AD于K，連接OA．作CT∠⊥AB于T．

∵∠EBA+∠G=90°，∠CFB+∠HOF=90°，

∵∠EFB=∠EBF，∴∠G=∠HOF，

∵∠HOF=∠EOG，∴∠G=∠EOG，∴EG=EO，

∵OH⊥AB，∴AB=2HB，

∵OE+EB=AB，∴GE+EB=2HB，∴GB=2HB，

∴cos∠GBA= ，∴∠GBA=60°，

∴△EFB是等邊三角形，設HF=a，

∵∠FOH=30°，∴OF=2FH=2a，

∵AB=13，∴EF=EB=FB=FH+BH=a+，

∴OE=EF﹣OF=FB﹣OF=﹣a，OB=OC=OE+EC=﹣a+2=﹣a，

∵NE=EF=a+，

∴ON=OE=EN=（﹣a）﹣（a+）=﹣a，

∵BO2﹣ON2=EB2﹣EN2，

∴（﹣a）2﹣（﹣a）2=（a+）2﹣（a+）2，

解得a=或﹣10（舍棄），

∴OE=5，EB=8，OB=7，

∵∠K=∠ATC=90°，∠KAC=∠TAC，AC=AC，∴△ACK≌△ACT，∴CK=CT，AK=AT，

∵，∴DC=BC，∴Rt△DKC≌Rt△BTC，∴DK=BT，

∵FT=FC=5，∴DK=TB=FB﹣FT=3，∴AK=AT=AB﹣TB=10，∴AD=AK﹣DK=10﹣3=7．