Question

【題目】如圖,AB、CD交于點O,∠AOE=4∠DOE,∠AOE的余角比∠DOE小10°(題中所說的角均是小于平角的角).

(1)求∠AOE的度數；

(2)請寫出∠AOC在圖中的所有補角；

(3)從點O向直線AB的右側引出一條射線OP,當∠COP=∠AOE+∠DOP時,求∠BOP的度數.

Answer 1

【答案】（1）∠AOE=80°；（2）∠AOD、∠BOC、∠BOE；（3），∠BOP的度數為130°或30°.

【解析】

（1）根據余角的定義及題意可得∠DOE=100°-∠AOE，再由∠AOE=4∠DOE即可求得∠AOE的度數；（2）根據補角的定義可得∠AOC+∠AOD=180°，∠AOC+∠BOC=180°，根據已知條件及（1）的結論可證得∠AOC+∠BOE=180°，即可得∠AOC的補角有∠AOD、∠BOC、∠BOE；（3）根據已知條件求得∠COP=130°， ∠DOP=50°，再分OP在直線CD上方和下方兩種情況求解即可.

（1）∵∠AOE的余角比∠DOE小10°，

∴90°－∠AOE=∠DOE-10°，

∴∠DOE=100°-∠AOE

∵∠AOE=4∠DOE，

∴∠AOE=4（100°-∠AOE）

∴∠AOE=80°，

即：∠AOE的度數為80°；

（2）由題意可知：∠AOC+∠AOD=180°，∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠AOC的補角有：∠AOD、∠BOC；

∵∠AOE=4∠DOE，∠AOE=80°，

∴∠DOE=20°，

∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=100°，

∴∠BOD=∠AOC =80°，

∴∠BOE=∠BOD+∠DOE=80°+20°=100°，

∴∠AOC+∠BOE=80°+100°=180°.

∴∠BOE是∠AOC的補角.

綜上，∠AOC的補角有：∠AOD、∠BOC、∠BOE；

（3）由（1）可得∠AOE=80°，∠DOE=∠AOE =20°，

∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=100°，∠BOD=180°-∠A OD=80°，

∵∠COP=∠AOE+∠DOP，

∴∠COP-∠DOP =∠AOE=80°，

∵∠COP+∠DOP=180°，

∴∠COP=130°， ∠DOP=50°，

當OP在直線CD上方時（如圖），

∴∠BOP=∠BOD+ ∠DOP=80°+50°=130°；

∠BOP=∠BOD- ∠DOP=80°-50°=-30°；

綜上，∠BOP的度數為130°或30°.