Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，經過圓上點D的直線CD恰使∠ADC=∠B．

（1）求證：直線CD是⊙O的切線；

（2）過點A作直線AB的垂線交BD的延長線于點E，且AB=5，BD=2，求線段AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（1）．

【解析】

試題分析：（1）連結OD，由OD=OB得∠ODB=∠B，而∠ADC=∠B，則∠ODB=∠ADC；再根據圓周角定理得∠ADB=90°，則∠ADO+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，然后根據切線的判定定理即可得到直線CD是⊙O的切線；

（2）先根據勾股定理計算出DA=，再根據三角形相似的判定方法證明△EAB∽△ADB，然后利用相似比即可計算出AE的長．

（1）證明：連結OD，如圖，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠B，

∵∠ADC=∠B，

∴∠ODB=∠ADC；

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ADO+∠ADC=90°，

即∠ODC=90°，

∴OD⊥CD，

∴直線CD是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ABD中，AB=5，BD=2，

∴DA==，

∵AE⊥AB，

∴∠EAB=90°，

∵∠ABE=∠DBA，

∴△EAB∽△ADB，

∴=，即=

∴AE=．