Question

【題目】如圖，直線分別交軸、軸于、兩點(diǎn)，線段上有一動(dòng)點(diǎn)由原點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

直接填出兩點(diǎn)的坐標(biāo)：：________，：________；

過(guò)點(diǎn)作直線截，使截得的三角形與相似，若當(dāng)在某一位置時(shí)，滿足條件的直線共有條，的取值范圍是________；

如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，設(shè)以為頂點(diǎn)的拋物線與直線的另一交點(diǎn)為．

①用含的代數(shù)式分別表示________，________；

②隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，的長(zhǎng)是否為定值？若是，請(qǐng)求出長(zhǎng)；若不是，說(shuō)明理由；

③設(shè)的邊上的高為，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？

Answer 1

【答案】（1）（4，0），（0，3）；（2）0＜t≤；（3）①﹣t，﹣t+3；②CD的長(zhǎng)為定值，且CD=；③當(dāng)t=時(shí)，h的值最大．

【解析】

（1）在直線AB的解析式中，令x=0，能得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；令y=0，能得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．

（2）此題需要注意的是“滿足條件的直線共有4條”這個(gè)條件，這四條直線中，“過(guò)P與直線AB平行的直線、過(guò)P與y軸平行的直線、過(guò)P與直線AB垂直的直線”這三條直線，點(diǎn)P只要在線段OA上就都能滿足“截得的三角形與△ABO相似”，所以求t的取值范圍，關(guān)鍵要看第四條，即：當(dāng)∠PBO=∠BAO時(shí)，△PBO、△BAO相似，那么此時(shí)點(diǎn)P的位置就能確定符合條件的t的最大值，可根據(jù)這個(gè)思路解答．

（3）①根據(jù)直線AB的解析式，用t表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，而點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，且拋物線的解析式已表示為頂點(diǎn)式，則m、n的值可求；

②聯(lián)立直線AB與拋物線的解析式，先求出C、D點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷線段CD的長(zhǎng)是否為定值；

③由②的結(jié)論知CD是定長(zhǎng)，那么以CD為底、點(diǎn)O到直線AB的距離為高即可判斷出△OCD的面積是一個(gè)定值，反過(guò)來(lái)看，若以OC為底、h為高，那么當(dāng)OC最短時(shí)，h的值最大；在Rt△AOB中，顯然只有當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最大，此時(shí)，先由△AOB的面積求出OC的長(zhǎng)，然后在Rt△OCA中，由射影定理求出OP的長(zhǎng)，則t值可求．

（1）直線y=﹣x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即 B（0，3）；

當(dāng)y=0時(shí)，x=4，即 A（4，0）；

∴A（4，0）、B（0，3）．

（2）如圖，過(guò)P作l∥AB、l⊥OA、l⊥AB時(shí)，△PBO、△BAO都相似，此時(shí)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，都符合要求，所以只考慮第四種情況：

當(dāng)∠PBO=∠BAO時(shí)，Rt△PBO∽Rt△BAO；

易知：tan∠PBO=tan∠BAO==；

在Rt△OBP中，OB=3，則 OP=OBtan∠PBO=3×=/span>

∴滿足條件的t的取值范圍是 0＜t≤．

（3）①由題意，知：P（t，0），則 C（t，﹣t+3），而拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （﹣m，n），∴m=﹣t，n=﹣t+3；

②由①知：y=（x﹣t）2﹣t+3，聯(lián)立直線AB的解析式，有：

，解得 ，∴點(diǎn)C（t，﹣t+3）、D（t﹣，﹣t+）；

可求得：CD的長(zhǎng)為定值，且CD=；

③由②知：CD的長(zhǎng)是定值，且點(diǎn)O到CD的距離不變，所以△OCD的面積是定值；

在△OCD中，以OC為底、h為高，則 S△OCD=OCh，S△OCD是定值，所以當(dāng)OC最短時(shí)，h最大；

在Rt△OAB中，OC為底邊AB上的高時(shí)，OC最短，此時(shí)OC⊥AB；

OC==；

在Rt△OAC中，OP===；

∴當(dāng)t=時(shí)，h的值最大．