Question

【題目】如圖，將邊長為6的正方形紙片ABCD對折，使AB與DC重合，折痕為EF，展平后，再將點B折到邊CD上，使邊AB經過點E，折痕為GH，點B的對應點為M，點A的對應點為N

（1）若CM=x，則CH=（用含x的代數式表示）；
（2）求折痕GH的長．

Answer 1

【答案】
（1）﹣ x2+3
（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠B=∠C=∠D=90°，

設CM=x，由題意可得：ED=3，DM=6﹣x，∠EMH=∠B=90°，

故∠HMC+∠EMD=90°，

∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，

∴△EDM∽△MCH，

∴ = ，

即 = ，

解得：x1=2，x2=6（不合題意舍去），

∴CM=2，

∴DM=4，

∴在Rt△DEM中，由勾股定理得：EM=5，

∴NE=MN﹣EM=6﹣5=1，

∵∠NEG=∠DEM，∠N=∠D，

∴△NEG∽△DEM，

∴ = ，

∴ = ，

解得：NG= ，

由翻折變換的性質，得AG=NG= ，

過點G作GP⊥BC，垂足為P，

則BP=AG= ，GP=AB=6，

當x=2時，CH=﹣ x2+3= ，

∴PH=BC﹣HC﹣BP=6﹣ ﹣ =2，

在Rt△GPH中，GH= = =2 ．