Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C在y的正半軸上，點B的坐標是（5，3），拋物線經過A、C兩點，與x軸的另一個交點是點D，連接BD．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是拋物線對稱軸上的一點，以M、B、D為頂點的三角形的面積是6，求點M的坐標；
（3）點P從點D出發，以每秒1個單位長度的速度沿D→B勻速運動，同時點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿B→A→D勻速運動，當點P到達點B時，P、Q同時停止運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？請直接寫出所有符合條件的值．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCD，B（5，3），∴A（5，0），C（0，3）。
∵點A（5，0），C（0，3）在拋物線上，
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為：。
（2）∵，
∴拋物線的對稱軸為直線x=3。
如答圖1所示，設對稱軸與BD交于點G，與x軸交于點H，則H（3，0）。

令y=0，即，解得x=1或x=5。
∴D（1，0）。∴DH=2，AH=2，AD=4。
∵，∴GH=DH•tan∠ADB=2×=。
∴G（3，）。
∵S_△MBD=6，即S_△MDG+S_△MBG=6，∴MG•DH+MG•AH=6，即： MG×2+MG×2=6。
解得：MG=3。
∴點M的坐標為（3，）或（3，）。
（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，則BD=5，∴sinB=，cosB=。
以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，則：
①若PD=PQ，如答圖2所示，

此時有PD=PQ=BQ=t，過點Q作QE⊥BD于點E，
則BE=PE，BE=BQ•cosB=t，QE=BQ•sinB=t，
∴DE=t+t=t。
由勾股定理得：DQ²=DE²+QE²=AD²+AQ²，
即（t）²+（t）²=4²+（3﹣t）²，整理得：11t²+6t﹣25=0，
解得：t=或t=﹣5（舍去）。
∴t=。
②若PD=DQ，如答圖3所示，

此時PD=t，DQ=AB+AD﹣t=7﹣t，
∴t=7﹣t。∴t=。
③若PQ=DQ，如答圖4所示，

∵PD=t，∴BP=5﹣t。
∵DQ=7﹣t，∴PQ=7﹣t，AQ=4﹣（7﹣t）=t﹣3。
過點P作PF⊥AB于點F，
則PF=PB•sinB=（5﹣t）×=4﹣t，BF=PB•cosB=（5﹣t）×=3﹣t。
∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣t）=t。
過點P作PE⊥AD于點E，則PEAF為矩形，
∴PE=AF=t，AE=PF=4﹣t。∴EQ=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣t）=t﹣7。
在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ²+PE²=PQ²，即：（t﹣7）²+（t）²=（7﹣t）²，
整理得：13t²﹣56t=0，解得：t=0（舍去）或t=。
∴t=。
綜上所述，當t=或t=或t=時，以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形。

試題分析：（1）求出點A、C的坐標，利用待定系數法求出拋物線的解析式。
（2）如答圖1所示，關鍵是求出MG的長度，利用面積公式解決；注意，符合條件的點M有2個，不要漏解。
（3）△DPQ為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論：
①若PD=PQ，如答圖2所示；②若PD=DQ，如答圖3所示；③若PQ=DQ，如答圖4所示。