Question

【題目】在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于C，A（1，-1），B（3，-1），動點P從O點出發，沿x軸正方向以2個單位/秒的速度運動．過P作PQ⊥OA于Q．設P點運動的時間為t秒（0 < t < 2），ΔOPQ與四邊形OABC重疊的面積為S．

（1）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式并確定頂點M的坐標；

（2）用含t的代數式表示P、Q兩點的坐標；
（3）將ΔOPQ繞P點逆時針旋轉90°，是否存在t，使得ΔOPQ的頂點O或Q落在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由；

（4）求S與t的函數解析式；

Answer 1

【答案】（1） 頂點M（2）（3）或（4）當時， 當時， 當時，

【解析】試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），然后根據A、B兩點的坐標求出a、b的值，得到解析式，然后根據頂點式或配方為頂點式求頂點即可；

（2）根據P的速度求出OP，即可得到點P的坐標，再根據點A的坐標求出∠AOC=45°，然后判斷出△POQ是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出Q點的坐標即可；

（3）根據旋轉的性質求出O、Q的坐標，然后分別帶入拋物線解析式即可求解；

（4）求出點Q與點A重合時的t=1，點P與點C重合時的t=1.5，t=2是PQ經過點B，然后分①0＜t≤1時，重疊部分的面積等于△POQ的面積，②當1＜t≤1.5時，重疊部分的面積等于兩個等腰直角三角形的面積的差，③1.5＜t＜2時，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個等腰直角三角形的面積，分別列式整理即可為求解.

試題解析：（1） 頂點M

（2）

（3）或

（4）當時，

當時，

當時，