Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為10，點M是邊AB上一動點，將等邊△ABC沿過點M的直線折疊，該直線與直線AC交于點N，使點A落在直線BC上的點D處，且BD：DC=1：4，折痕為MN，則AN的長為 ．

Answer 1

【答案】7或
【解析】解：①當點A落在如圖1所示的位置時，

∵△ACB是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，

∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，

∴∠BMD=∠NDC，

∴△BMD∽△CDN．

∴得 = = ，

∵DN=AN，

∴得 = = ，

∵BD：DC=1：4，BC=10，

∴DB=2，CD=8，

設AN=x，則CN=10﹣x，

∴ = = ，

∴DM= ，BM= ，

∵BM+DM=30，

∴ + =10，

解得x=7，

∴AN=7；

②當A在CB的延長線上時，如圖2，

與①同理可得△BMD∽△CDN．

∴得 = = ，

∵BD：DC=1：4，BC=10，

∴DB= ，CD= ，

設AN=x，則CN=x﹣10，

∴ = = ，

∴DM= ，BM= ，

∵BM+DM=10，

∴ + =10，

解得：x= ，

∴AN= ．

所以答案是：7或 ．

【考點精析】通過靈活運用翻折變換（折疊問題）和相似三角形的判定與性質，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．