Question

【題目】在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點B在第一象限，頂點A，C分別在x軸和y軸上，直線l1：x=4與直線l2：y=4相交于點E，以點E為頂點的拋物線K經過點B（6，6）．

（1）求拋物線K的解析式．
（2）點P是線段OC上一點，點O關于AP的對稱點為M，
①若點M落在直線l1或l2上時，將拋物線向下或向上平移多少，使其頂點落在AM上；
②若點M落在拋物線上，請直接寫出一個符合題意的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解: ∵直線l1：x=4與直線l2：y=4相交于點E，

∴點E的坐標為（4，4）．

設拋物線K的解析式為y=a（x﹣4）2+4，

∵拋物線K經過點B（6，6），

∴6=a（6﹣4）2+4，

解得：a= ，

∴拋物線K的解析式為y= （x﹣4）2+4

（2）解: ①以A為圓心，以6為半徑畫弧，交直線l1：x=4與直線l2：y=4相交于點M1、M2，

設M1（m，4），M2（4，n），

∵A（6，0），OM=6，

∴（m﹣6）2+42=62，（4﹣6）2+n2=62，

解得m=6﹣2 ，n=4 ，

∴M（6﹣2 ，4），

∴ = ，

解得，h1= ，

∴將拋物線向下平移4﹣ ，使其頂點落在AM1上；將拋物線向上平移4 ﹣4，使其頂點落在AM2上

②當點P與點C重合時，點M與B重合，點M在拋物線上，此時P（0，6）．

【解析】（1）首先找出E點的坐標，利用待定系數法即可求解；（2）①以A為圓心，以6為半徑畫弧，交直線l1：x=4與直線l2：y=4相交于點M1、M2，設M1（m，4），M2（4，n），由勾股定理得出關于m、n的方程，解方程即可；②當點P與點C重合時，點M與B重合，點M在拋物線上，此時P（0，6）．
【考點精析】通過靈活運用二次函數圖象的平移和正方形的性質，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．