Question

【題目】如圖，將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉40°得到△A1B1C1 ， AB與A1C1相交于點D，A1C1、BC1與AC分別交于點E、F．
（1）求證：△BCF≌△BA1D；
（2）當∠C=40°時，請你證明四邊形A1BCE是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=BC，∠A=∠C，

∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉40度到△A1BC1的位置，

∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，

在△BCF與△BA1D中，

，

∴△BCF≌△BA1D（ASA）；

（2）解：∵∠C=40°，△ABC是等腰三角形，

∴∠A=∠C1=∠C=40°，

∴∠C1=∠CBF=40°，∠A=∠A1BD=40°，

∴A1E∥BC，A1B∥CE，

∴四邊形A1BCE是平行四邊形，

∵A1B=BC，

∴四邊形A1BCE是菱形．

【解析】（1）根據旋轉的性質，得出A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1 ， 再根據ASA即可判定△BCF≌△BA1D；（2）根據∠C=40°，△ABC是等腰三角形，即可得出∠A=∠C1=∠C=40°，進而得到∠C1=∠CBF，∠A=∠A1BD，由此可判定A1E∥BC，A1B∥CE，進而得到四邊形A1BCE是平行四邊形，最后根據A1B=BC，即可判定四邊形A1BCE是菱形．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和菱形的判定方法的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形才能正確解答此題．