Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，過O點作OP⊥AB，交弦AC于點D，交⊙O于點E，且使∠PCA=∠ABC．

（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCO+∠ACO=90°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠BCO=∠ACP，
∴∠ACP+∠OCA=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切線
（2）解：∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，
∴OC=2 ，OP=2PC=4，
∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4﹣2
【解析】（1）連接OC，要證PC是⊙O的切線，只需證∠OCP=90°。根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB=90°，結合已知條件可證得∠OCP=90°，則結論可得。
（2）由（1）知∠PCO=90°，在直角三角形PCO中，根據直角三角形中,30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出OP，則PE=OP﹣OE=OP﹣OC。