Question

【題目】如圖，等邊三角形的邊長為，是邊上的高所在的直線，點為直線上的一動點，連接并將繞點逆時針旋轉至，連接，則的最小值為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

取AB的中點G，連接DG.先根據條件證明△ADG≌△AEF，從而EF=DG，根據“垂線段最短”可得，當DG⊥AB時，DG最短，再利用勾股定理在Rt△BGD中，求出DG即可.

解：如圖，取AB的中點G，連接DG.

∵旋轉角為60°，

∴ ∠DAE=60°，

∵∠BAC=60°，

∴∠GAD=∠BAC -∠DAC=60°-∠DAC,

∠FAE=∠DAE-∠DAF=60°-∠DAC,

∴∠GAD=∠FAE，

∵BF為等邊三角形ABC的高，

∴ AF=AC,（等腰三角形三線合一），

∴AG=AF,

∵AE由AD旋轉可得，

∴AD=AE,

在△ADG和△AEF中，

,

∴△ADG≌△AEF，

∴EF=DG,

∴ 當DG⊥AB時，EF最短，

∵∠ABF=∠ABC=30°，BG=×6=3.

∴BD=2DG,(直角三角形中30°角所對的邊是斜邊的一半)，

在Rt△BGD中，

,

∴ 4DG2=DG2+9,

∴ DG= ,

∴ EF的最小值為.

故答案為：.