Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+3交于A，B兩點，交x軸于C、D兩點，連接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線對稱軸l上找一點M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出這個最大值；

（3）點P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式是y=x2+x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值為；（3）存在點P（1，6）．

【解析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據對稱性，可得MC=MD，根據解方程組，可得B點坐標，根據兩邊之差小于第三邊，可得B，C，M共線，根據勾股定理，可得答案；

（3）根據等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根據相似三角形的判定與性質，可得關于x的方程，根據解方程，可得x，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

（1）將A（0，3），C（﹣3，0）代入函數解析式，得

，解得，

拋物線的解析式是y=x2+x+3；

（2）由拋物線的對稱性可知，點D與點C關于對稱軸對稱，

∴對l上任意一點有MD=MC，

聯立方程組 ，

解得（不符合題意，舍），，

∴B（﹣4，1），

當點B，C，M共線時，|MB﹣MD|取最大值，即為BC的長，

過點B作BE⊥x軸于點E，

，

在Rt△BEC中，由勾股定理，得

BC=，

|MB﹣MD|取最大值為；

（3）存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，

在Rt△BEC中，∵BE=CE=1，

∴∠BCE=45°，

在Rt△ACO中，

∵AO=CO=3，

∴∠ACO=45°，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

過點P作PQ⊥y軸于Q點，∠PQA=90°，

設P點坐標為（x，x2+x+3）（x＞0）

①當∠PAQ=∠BAC時，△PAQ∽△CAB，

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，

∴，即，

∴，

解得x1=1，x2=0（舍去），

∴P點的縱坐標為×12+×1+3=6，

∴P（1，6），

②當∠PAQ=∠ABC時，△PAQ∽△CBA，

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，

∴△PGA∽△ACB，

∴，

即=3，

∴，

解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）

∴此時無符合條件的點P，

綜上所述，存在點P（1，6）．