Question

【題目】如圖,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,現有兩點M、N分別從點A. 點B同時出發,沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s.當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動.

(1)點M、N運動_________秒后，△AMN是等邊三角形?

(2)點M、N在BC邊上運動時，運動_______秒后得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN?

(3)M、N同時運動幾秒后，△AMN是直角三角形？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）16；（3）M、N同時運動3，，15，18秒后，△AMN是直角三角形，理由見解析.

【解析】

（1）根據題意設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；

（2）由△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設出運動時間，表示出CM，NB，NM的長，列出方程，可解出未知數的值；

（3）分點N在AB，AC，BC上運動的三種情況，再分別就∠AMN=90°和∠ANM=90°列方程求解可得．

解：（1）設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖1，

AM=t，AN=12-2t，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等邊三角形，

∴∠A=60°，

當AM=AN時，△AMN是等邊三角形
∴t=12-2t，
解得t=4，
∴點M、N運動4秒后，△AMN是等邊三角形；

（2）設當點M、N在BC邊上運動時，運動t秒后得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN，
由題意知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處，
如圖2，假設△AMN是等腰三角形，

∴AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等邊三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC =∠ANB，∠C=∠B，AC=AB
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM=BN，
∴t-12=36-2t，
解得t=16，符合題意．
所以點M、N在BC邊上運動時，運動16秒后能得到以MN為底的等腰三角形；

（3）①當點N在AB上運動時，如圖3，

若∠AMN=90°，∵BN=2t，AM=t，
∴AN=12-2t，
∵∠A=60°，
∴2AM=AN，即2t=12-2t，
解得t=3；
如圖4，若∠ANM=90°，

由2AN=AM得2（12-2t）=t，
解得t=；
②當點N在AC上運動時，點M也在AC上，此時A，M，N不能構成三角形；

③當點N在BC上運動時，如圖5，

當點N位于BC中點處時，由△ABC時等邊三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，
則2t-24=6，
解得t=15；
如圖6，

當點M位于BC中點處時，由△ABC時等邊三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，
則t-12=6

解得t=18；
綜上， M、N同時運動3，，15，18秒后，△AMN是直角三角形；
故答案為：3，，15，18．