Question

【題目】如圖，在中，是邊上的一點，是的中點，過點作的平行線交的延長線于點，且，連接．

與有什么數量關系，并說明理由；

①當滿足什么條件時，四邊形是矩形？并說明理由．

②當滿足什么條件時，四邊形是菱形？并說明理由．

Answer 1

【答案】證明見解析； ①當時，四邊形是矩形，證明見解析；②當時，四邊形是菱形，證明見解析.

【解析】

（1）根據已知條件易證，根據全等三角形的對應邊相等可得AF=DC，因AF=BD，所以BD=DC；

（2）①當△ABC滿足AB=AC時，四邊形AFBD是矩形，理由為：由，，可得到四邊形AFBD為平行四邊形，再由AB=AC，BD=CD，利用三線合一得到AD⊥BC，由此即可證得結論；②當時，四邊形是菱形，理由：由，，可得到四邊形AFBD為平行四邊形；又因，，根據直角三角形斜邊中線的性質可得，由此即可證得結論．

=.

證明：∵是的中點，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴．

①當時，四邊形是矩形．

證明：∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，，

∴，

∴，

∴四邊形是矩形．

②當時，四邊形是菱形．

證明：：∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，，

∴，

∴四邊形是菱形．