Question

【題目】如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，交BC于點D，且BD=CD，DF⊥AC于點F.給出以下四個結論：

①DF是⊙O的切線；②CF=EF；③=；④∠A=2∠FDC.

其中正確結論的序號是 .

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

試題分析：由BD=DC，OA=OB，推出OD是△ABC的中位線，OD∥AC，由DF⊥AC得出得DF⊥OD，即DF是⊙O的切線，然后證出△ABC是等腰三角形，得出∠B=∠C，再推出△CDE為等腰三角形，從而推出∠A=2∠FDC，CF=EF.最后由假設推出≠；③不正確；即可得出結果.

解：連接OD、DE、AD，如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴OA=OB，

∵DB=DC，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD.

∴DF是⊙O的切線，①正確；

∵DF是⊙O的切線，

∴∠CED=∠B，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，

∵BD=CD，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠CED=∠C，

∴DC=DE，

又∵DF⊥AC，

∴CF=EF，②正確；

當∠EAD=∠EDA時，，

此時△ABC為等邊三角形，

當△ABC不是等邊三角形時，

∠EAD≠∠EDA，

則≠，

∴=不正確；

∵DF⊥AC，AD⊥BC，

∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，

∴∠FDC=∠CAD，

又AB=AC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠A=2∠CAD=2∠FDC，④正確；

故答案為：①②④.