Question

【題目】如圖，CB=CA，∠ACB=90°，點(diǎn)D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點(diǎn)F作FG⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q，給出以下結(jié)論：
①AC=FG；②S△FAB：S四邊形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQAC，
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵四邊形ADEF為正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠C=90°=∠ACB，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中， ，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正確；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，F(xiàn)G⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四邊形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB= FBFG= S四邊形CBFG ， ②正確；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正確；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴ADFE=AD2=FQAC，④正確；
故選：D．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．由正方形的性質(zhì)得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，證出∠CAD=∠AFG，由AAS證明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正確；
證明四邊形CBFG是矩形，得出S△FAB= FBFG= S四邊形CEFG ， ②正確；
由等腰直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ABF=45°，③正確；
證出△ACD∽△FEQ，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出DFE=AD2=FQAC，④正確．