Question

【題目】如圖，長方形ABCD在平面直角坐標系中，點A（1，8），B（1，6），C（7，6），點X，Y分別在x，y軸上.

（1）請直接寫出D點的坐標 ；

（2）連接OB、OD，OD交BC于點E，∠BOY的平分線和∠BEO的平分線交于點F，若∠BOE＝n，求∠OFE的度數.

（3）若長方形ABCD以每秒個單位的速度向下運動，設運動時間為t秒，問在第一象限內是否存在某一時刻t，使△OBD的面積等于長方形ABCD的面積的？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（7，8）；（2）∠EFO＝135°－n；（3）存在，t＝2.

【解析】

（1）由長方形的性質得出AB=DC，AD=BC，由題意得出AB=DC=2，即可得出D點的坐標；

（2）設∠BEO=2x，則∠EOX=2x，作FG∥OX，得出，由角平分線得出，得出 ，由平行線得出∠EFG=∠BEF=x，得出，即可得出∠OFE的度數；

（3）作AM⊥y軸于M，先求出矩形ABCD的面積，△OBD的面積=△ODM的面積-△ABD的面積-梯形AMOB的面積，得出方程，解方程即可求出t的值．

解：（1）∵四邊形ABCD是長方形，
∴AB=DC，AD=BC，
∵點A（1，8），B（1，6），C（7，6），
∴AB=DC=2，
∴D點的坐標為：（7，8）；
故答案為：（7，8）；

（2）∵∠BOY的平分線和∠BEO的平分線交于點F，

∵BC∥OX，
∴∠BEO=∠EOX，
設∠BEO=2x，
則∠EOX=2x，
作FG∥OX，如圖1所示：

則

又

∵BC∥FG∥OX，
∴∠EFG=∠BEF=x，

（3）存在某一時刻，使△OBD的面積等于長方形ABCD面積的，t=2；理由如下：

作AM⊥y軸于M，如圖2所示：

∵S矩形ABCD=2×6=12，

S△OBD=S△ODM-S△ABD-S梯形AMOB=

解得：t=2．