Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角線APQ．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O處時，記Q的位置為B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動（P不與O重合）時，∠ABQ為定值；

（3）是否存在點(diǎn)P，使得以A、O、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）B（）．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值90°．
（3）P的坐標(biāo)為（）或（）．

(1)因?yàn)镺A=2，△AOB為等邊三角形，所以B的坐標(biāo)為（√3,1）.
（2）因?yàn)椤螾AQ和∠OAB都是60º，所以∠PAO=∠QAB，△PAQ和△OAB都是等邊三角形，所以PA=QA，OA=BA，所以△PAO≌△QAB，所以∠ABQ=∠AOP=90º,所以為定值.
（3）由（2）可知，點(diǎn)Q總在過點(diǎn)B且與AB垂直的直線上，可見AO與BQ不平行．①當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方，②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的上方，根據(jù)這兩種情況分別求出P的坐標(biāo)