Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，則∠BDF的度數是多少？

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AO=CO，BO=DO
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形
（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，
∴∠FDC=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴∠ODC=54°
∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°
【解析】（1）根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可證出四邊形ABCD是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質及∠ABC+∠ADC=180°．證明∠ADC=90°，即可證得結論。
（2）根據已知∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，可求出∠∠FDC的度數，再根據直角三角形兩銳角互余，求出∠DCO的度數，再根據OC=OD得出∠DCO=∠ODC，然后根據∠BDF=∠ODC﹣∠FDC，即可求出答案。