Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為直角邊在AD的右側作Rt△ADE，且AD=AE.

（1）填空：當點D在線段BC上時（與點B不重合），則線段CE、BD的數量關系應為________________,線段CE所在的直線與射線BC的位置關系為____________；

（2）如下圖，當點D在線段BC的延長線上時，（1）中的結論是否仍然成立，請證明；

（3）如下圖，點D在BC的延長線上，如果AC＝cm，△CDE的面積為4cm2時，求線段DE的長度.

Answer 1

【答案】⑴CE=BD,CE⊥BC；⑵仍然成立.（3）DE=6.

【解析】

（1）證明△BAD≌△CAE，根據全等三角形的性質解答；

（2）仿照（1）的證明方法解答；

（3）根據勾股定理求出BC，設CD=x，BD=CE=y，根據三角形的面積公式、勾股定理列式計算即可．

（1）∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE=BD，∠ACE=∠ABD=45°，

∴CE⊥BD，

故答案為：相等；垂直；

（2）仍然成立，

理由如下：∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD與△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，∠ACE=∠B，

∵∠B+∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠ACB=90°，

∴∠BCE=90°，即CE⊥BD；

（3）∵∠BAC=90°，

∴由勾股定理得，BC＝，

∵△CDE的面積為4，

∴CDCE＝4，

設CD=x，BD=CE=y，則xy=8，

當點D在線段BC的延長線上時，BC＝BDCD＝，

即y-x=2，

∴x2+y2=（y-x）2+2xy=36，

∴DE＝＝6．