Question

【題目】已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．

（1）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG；

（2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：∵點D是AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，

∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°，又∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

∴△AEC≌△CGB，

∴AE=CG，

（2）BE=CM，

證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC，

又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，

∴△BCE≌△CAM，

∴BE=CM．

【解析】

⑴證明：設∠ACE=∠1,因為直線BF垂直于CE，交CE于點F,所以∠CFB=90°，

所以∠ECB+∠CBF=90°.

又因為∠1+∠ECB=90°，所以∠1=∠CBF .

因為AC="BC," ∠ACB=90°，所以∠A=∠CBA=45°.

又因為點D是AB的中點，所以∠DCB=45°.

因為∠1=∠CBF，∠DCB=∠A，AC=BC，所以△CAE≌△BCG，所以AE=CG.

(2)解：CM=BE.證明如下：因為∠ACB=90°,所以∠ACH +∠BCF=90°.

因為 CH⊥AM，即∠CHA=90°,所以 ∠ACH +∠CAH=90°,所以∠BCF=∠CAH.

因為 CD為等腰直角三角形斜邊上的中線,所以 CD=AD.所以∠ACD=45°.

在△CAM與△BCE中,CA=BC,∠CAH =∠BCF, ∠ACM =∠CBE,

所以 △CAM ≌△BCE,所以CM=BE.