Question

【題目】如圖，AB是圓O的一條直徑，弦CD垂直于AB，垂足為點G、E是劣弧BD上一點，點E處的切線與CD的延長線交于點P，連接AE，交CD于點F．

（1）求證：PE=PF

（2）已知AG=4，AF=5，EF=25，求圓O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）PE=PF；（2）圓O的直徑為．

【解析】試題分析：（1）如圖1，連接OE，根據切線的性質得出∠PEO=90°，求出∠PEF=∠PFE，根據等腰三角形的判定得出即可；

（2）如圖2，連接BE，根據相似三角形的判定得出△AGF∽△AEB，得出比例式，代入求出即可．

試題解析：（1）證明：如圖1，連接OE，

∵EP是⊙O的切線，

∴∠PEO=90°，

∴∠OEA+∠PEF=90°，

∵AB⊥CD，

∴∠AGF=90°，

∴∠A+∠AFG=90°，

∵OE=OA，

∴∠OEA=∠OAE，

∴∠PEF=∠AFG，

∵∠EFP=∠AFG，

∴∠PEF=∠PFE，

∴PE=PF；

（2）解：如圖2，連接BE，

∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

∵∠AGF=90°，

∴∠AGF=∠AEB，

∵∠A=∠A，

∴△AGF∽△AEB，

∴，

∵AG=4，AF=5，EF=25，

∴，

∴AB=，

即圓O的直徑為．