Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長最小？若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖②，點(diǎn)Q是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，在線段BC上是否存在這樣的點(diǎn)M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣4），

代入C（0，3）得3=4a，

解得a= ，

y= （x﹣1）（x﹣4）= x2﹣ x+3，

所以，拋物線的解析式為y= x2﹣ x+3

（2）解：∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，如圖1，連接BC，

∴BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC=BC，

∴四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC，

∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OA=1，OC=3，BC= =5，

∴OC+OA+BC=1+3+5=9；

∴在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長最小，四邊形PAOC周長的最小值為9．

（3）解：∵B（4，0）、C（0，3），

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+3，

①當(dāng)∠BQM=90°時(shí)，如圖2，設(shè)M（a，b），

∵∠CMQ＞90°，

∴只能CM=MQ=b，

∵M(jìn)Q∥y軸，

∴△MQB∽△COB，

∴ = ，即 = ，解得b= ，代入y=﹣ x+3得， =﹣ a+3，解得a= ，

∴M（ ， ）；

②當(dāng)∠QMB=90°時(shí)，如圖3，

∵∠CMQ=90°，

∴只能CM=MQ，

設(shè)CM=MQ=m，

∴BM=5﹣m，

∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，

∴△BMQ∽△BOC，

∴ = ，解得m= ，

作MN∥OB，

∴ = = ，即 = = ，

∴MN= ，CN= ，

∴ON=OC﹣CN=3﹣ = ，

∴M（ ， ），

綜上，在線段BC上存在這樣的點(diǎn)M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ， ）或（ ， ）．

【解析】（1）由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出解析式；（2）由A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，得到BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，由A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），得到OA=1，OC=3，BC =5，OC+OA+BC=1+3+5=9；所以在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長最小，四邊形PAOC周長的最小值為9；（3）由B（4，0）、C（0，3），所以直線BC的解析式為y=﹣ x+3，①當(dāng)∠BQM=90°時(shí)，設(shè)M（a，b），由∠CMQ＞90°，得到只能CM=MQ=b，因?yàn)镸Q∥y軸，所以△MQB∽△COB，得到 比例，求出M的坐標(biāo)；②當(dāng)∠QMB=90°時(shí)，由∠CMQ=90°，得到只能CM=MQ，得到△BMQ∽△BOC，得到比例，解得m= ，由MN∥OB，得到比例，求出M（ ， ），在線段BC上存在這樣的點(diǎn)M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ， ）或（ ， ）．