Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO為正方形，A點坐標為（0，2），點P為x軸負半軸上一動點，以AP為直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（點D落在第四象限）

（1）當點P的坐標為（﹣1，0）時，求點D的坐標；
（2）點P在移動的過程中，點D是否在直線y=x﹣2上？請說明理由；
（3）連接OB交AD于點G，求證：AG=DG．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，作DH⊥OC于H．

∵四邊形AOCB是正方形，A（0，2），P（﹣1，0），

∴∠AOP=∠PHD=∠APD=90°，OA=2，OP=1，

∵∠APO+∠DPH+90°，∠DPH+∠PDH=90°，

∴∠APO=∠PDH，

在△APO和△PDH中，

，

∴△APO≌△PDH，

∴PH=OA=2，DH=OP=1，

∴OH=1，

∴D（1，﹣1）

（2）

解：如圖2中，作射線CD，設AD交PC于G．

∵∠GCA=∠GDP=45°，∠AGC=∠PGD，

∴△AGC∽△PGD，

∴ = ，

∴ = ，∵∠AGP=∠CGD，

∴△AGP∽△CGD，

∴∠PAG=∠GCD=45°，

∴∠ACD=90°，

∴CD⊥AC，

∵直線AC的解析式為y=﹣x+2，

∴直線CD的解析式為y=x﹣2，

∴點D在直線CD上

（3）

解：如圖3中，連接CG、AC、CD．

∵四邊形OABC是正方形，

∴BA=BC，∠GBA=∠GBC，∵BG=BG，

∴△GBA≌△GBC，

∴GA=GC，

∴∠GAC=∠GCA，

∵∠ACD=90°，

∴∠GDC+∠GAC=90°，∠GCB+∠GCA=90°，

∴∠GDC=∠GCD，

∴GC=GD，

∴AG=GD

【解析】（1）如圖1中，作DH⊥OC于H．只要證明△APO≌△PDH，推出PH=OA=2，DH=OP=1即可．（2）如圖2中，作射線CD，設AD交PC于G．由△AGC∽△PGD，推出 = ，推出 = ，由∠AGP=∠CGD，推出△AGP∽△CGD，推出∠PAG=∠GCD=45°，推出∠ACD=90°，即CD⊥AC，求出直線CD的解析式即可解決問題．（3）如圖3中，連接CG、AC、CD．由△GBA≌△GBC，推出GA=GC，只要證明GC=GD即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．