Question

【題目】如圖①，在等腰中，如圖①，在等腰中，，平分交于點.點為線段上一點（不與端點、重合），，與的延長線交于點，與交于點，連接、、．

（1）求證：；

（2）求的度數；

（3）探究線段、之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠EAP=45°；（3）EC=PD．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質可得CD是AB的垂直平分線，根據垂直平分線的性質可得AP=BP；

（2）由∠ACE=∠APE=90°，可得點A，點P，點C，點E四點共圓，可得∠AEP=∠ACD=45°，即可求∠EAP的度數；

（3）過點E作EH⊥CD于點H，根據“AAS”可證△APD≌△PEH，可得EH=PD，根據勾股定理可求EC=EH，即可得EC=PD．

證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CD平分∠ACB，

∴CD⊥AB，AD=BD，∠ACD=∠BCD=∠CAD=∠DBC=45°，

∴CD是AB的垂直平分線

∴AP=BP，

（2）∵∠ACE=∠APE=90°，

∴點A，點P，點C，點E四點共圓，

∴∠AEP=∠ACD=45°，且AP⊥EP，

∴∠EAP=45°

（3）EC=PD，理由如下：

如圖，過點E作EH⊥CD于點H，

∵∠EAP=∠AEP=45°，

∴AP=PE，

∵∠APE=90°=∠ADP

∴∠APD+∠PAD=90°，∠APD+∠EPH=90°，

∴∠PAD=∠EPH，且AP=PE，∠EHP=∠ADP=90°

∴△APD≌△PEH（AAS）

∴EH=PD，

∵∠ECH=∠DCB=45°，EH⊥CD

∴∠HEC=∠HCE=45°

∴EH=CH

在Rt△ECH中

∴EC=PD．