Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且∠B=60°，過C作⊙O的切線l，與直徑AD的延長線交于點E，AF⊥l，垂足為F．

（1）求證：AC平分∠FAD；
（2）已知AF=3 ，求陰影部分面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

連接OC，

∵EF切⊙O于點C，

∴OC⊥EF，

∵AF⊥EF，

∴OC∥AF，

∴∠FAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠FAC=∠CAO，

∴AC平分∠FAD

（2）解：連接CD，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD=90°，

∵∠ADC=∠B=60°，

∴∠CAD=30°=∠FAC，

∴∠E=30°，

∵AF=3 ，

∴FC=AF×tan30°=3，

∴AC=2FC=6，

∴CA=CE=6，

∵∠OCE=90°，

∴OC=CE×tan30°=2 ，

∴S陰影=S△OCE﹣S扇形COD= ﹣ =6 ﹣2π

【解析】已知圓的切線，輔助線的添加方法是連半徑，（1）連接OC得OC⊥EF，先證明OC∥AF，再證明得∠FAC=∠CAO，即可得出AC平分∠FAD
（2）觀察圖形，可知S陰影=S△OCE﹣S扇形COD。先在Rt△ACF中，求出AC的長，再證明AC=CE，易得∠E=30°，就可以求出△OCE、扇形OCD的面積，然后去很粗陰影部分的面積。
【考點精析】關于本題考查的切線的性質定理和扇形面積計算公式，需要了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能得出正確答案．