Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，過點A（，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點，且B、C兩點的縱坐標分別是一元二次方程的兩個根．

（1）求線段BC的長度；

（2）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請說明理由；

（3）若點D在直線AC上，且DB=DC，求點D的坐標；

（4）在（3）的條件下，直線BD上是否存在點P，使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）垂直；（3）D（，1）；（4）P（，0），（，2），（﹣3，），（3，）．

【解析】

試題分析：（1）∵，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4；

（2）∵A（，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴=OBOC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A（，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直線AC的解析式為：，∵DB=DC，∴點D在線段BC的垂直平分線上，∴D的縱坐標為1，∴把y=1代入，∴x=，∴D的坐標為（，1）；

（4）設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點E，把B（0，3）和D（，1）代入y=mx+n，∴，解得：，∴直線BD的解析式為：，令y=0代入，∴x=，∴E（，0），∴OE=，∴tan∠BEC==，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°．

當PA=AB時，如圖1，此時，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P與E重合，∴P的坐標為（，0）；當PA=PB時，如圖2，此時，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴點P的橫坐標為，令x=代入，∴y=2，∴P（，2）；

當PB=AB時，如圖3，∴由勾股定理可求得：AB=，EB=6，若點P在y軸左側(cè)時，記此時點P為P1，過點P1作P1F⊥x軸于點F，∴P1B=AB=，∴EP1=6﹣，∴sin∠BEO=，∴FP1=，令y=代入，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，）；若點P在y軸的右側(cè)時，記此時點P為P2，過點P2作P2G⊥x軸于點G，∴P2B=AB=，∴EP2=6+，∴sin∠BEO=，∴GP2=，令y=代入，∴x=3，∴P2（3，）．

綜上所述，當A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為（，0），（，2），（﹣3，），（3，）．