Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，E為AB延長線上的點，作OD∥BC交EC的延長線于點D，連接AD．
（1）求證：AD=CD；
（2）若DE是⊙O的切線，CD=3，CE=2，求tanE和cos∠ABC的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴BC⊥AC，

∵OD∥BC，

∴OD⊥AC，

∴OD平分AC，即OD垂直平分AC，

∴AD=CD

（2）解：連結OC，如圖，設⊙O的半徑為r，

∵BC∥OD，

∴ = ，即 = ，解得BE= r，

∵DE為切線，

∴OC⊥DE，

∴∠OCD=∠OCE=90°，

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD，

∴∠OAD=90°，

在Rt△ADE中，∵AD=AC=3，DE=DC+CE=5，

∴AE= =4，

∴tanE= = ，

∵OD∥BC，

∴∠ABC=∠AOD，

在Rt△AOD中，OD= = = ，

∴cos∠AOD= = = ，

∴cos∠ABC=

答：tanE= ，cos∠ABC= ．

【解析】（1）先利用圓周角定理得到∠ACB=90°，再利用OD∥BC得到OD⊥AC，然后根據垂徑定理和線段垂直平分線的性質可得到結論； 2）連結OC，如圖，設⊙O的半徑為r，先利用平行線分線段成比例定理得到r= ，再證明△OAD≌△OCD得到∠OAD=90°，則根據勾股定理可計算出AE=4，這樣利用正切定理可得tanE的值，再利用OD∥BC得到∠ABC=∠AOD，然后在Rt△AOD中，先計算出OD，再利用余弦得到cos∠AOD的值，從而得到cos∠ABC的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的外接圓與外心的相關知識，掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．