Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點的坐標是，點的坐標是，點和點關于原點對稱，點是直線位于軸右側部分圖象上一點，連接，已知．

（1）求直線的解析式；

（2）如圖2，沿著直線平移得，平移后的點與點重合．點為直線上的一動點，當的值最小時，請求出的最小值及此時點的坐標；

（3）如圖3，將沿直線是翻折得點為平面內任意一動點，在直線上是否存在一點，使得以點為頂點的四邊形是矩形；若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）點，，最小值；

（3）點，或，．

【解析】

（1）點和點關于原點對稱，則點，將點、的坐標代入一次函數(shù)表達式，即可求解；

（2）過點作直線軸，過點作，垂足為點，交于點，則，即此時，最小，最小值為，即可求解；

（3）點、均在直線上，而與不垂直，故點不可能是矩形的邊，只能是矩形的對角線，即可求解．

解：（1）點和點關于原點對稱，則點，

將點、的坐標代入一次函數(shù)表達式：得：，解得：，

故直線的表達式為：；

（2）過點作直線軸，過點作，垂足為點，交于點，

，故，，

，，

則，即此時，最小，最小值為，

，則，

故點，，

，則點，，

則點，，

點，，

最小值；

（3）存在，理由：

①當時，

如圖，

，，

則，

故點，；

、、、為頂點的四邊形是矩形，

點位置如下圖所示，設點，

將點、的坐標代入一次函數(shù)：得：，解得：，

故直線的表達式為：①，

，則設直線的表達式為：，

將點的坐標代入上式得：，解得：，

故：直線的表達式為：②，

聯(lián)立①②并解得：，

故點，；

②當時，

同理可得：點，；

綜上所述，點，或，．