Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中,AD∥BC，∠ADC=90°，BC=8，DC=6，AD=10，動點P從點D出發，沿線段DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發，當點P運動到點A時，點Q隨之停止運動，設運動的時間為t（秒）。

（1）當點P運動t秒后，AP=____________（用含t的代數式表示）；

（2）若四邊形ABQP為平行四邊形，求運動時間t；

（3）當t為何值時，△BPQ是以BQ或BP為底邊的等腰三角形；

Answer 1

【答案】（1）10-2t;（2）t=2（3）t=或t=.

【解析】

（1）根據AP=AD-DP即可寫出；

（2）當四邊形ABQP為平行四邊形時，AP=BQ，即可列方程進行求解；

（3）分兩種情況討論：①若PQ=BQ,在Rt△PQE中，由PQ2=PE2+EQ2，PQ=BQ,將各數據代入即可求解；②若PB=PQ,則BQ=2EQ,列方程即可求解.

（1）∵動點P從點D出發，沿線段DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，

∴AP=AD-DP=10-2t,

故填：10-2t;

（2）∵四邊形ABQP為平行四邊形時，∴AP=BQ，

∵BQ=BC-CQ=8-t，

∴10-2t=8-t，解得t=2，

（3）如圖，過點P作PE⊥BC于E，

①當∠BQP為頂角時，PQ=BQ，BQ=8-t，PE=CD=6，EQ=CE-CQ=2t-t=t,

在Rt△PQM中，由PQ2=PE2+EQ2，又PQ=BQ,

∴(8-t)2=62+t2,

解得t=

②當∠BPQ為頂角時，則BP=PQ

由BQ=2EQ，即8-t=2t

解得t=

故 t=或t=時，符合題意.