Question

【題目】已知⊙O為△ABC的外接圓，圓心O在AB上．

（1）在圖1中，用尺規作圖作∠BAC的平分線AD交⊙O于D（保留作圖痕跡，不寫作法與證明）；

（2）如圖2，設∠BAC的平分線AD交BC于E，⊙O半徑為5，AC=4，連接OD交BC于F．

①求證：OD⊥BC；

②求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖見試題解析；（2）①證明見試題解析；②．

【解析】

試題分析：（1）按照作角平分線的方法作出即可；

（2）①由AD是∠BAC的平分線，得到，再由垂徑定理推論可得到結論；

②由勾股定理求得CF的長，然后根據平行線分線段成比例定理求得，即可求得，繼而求得EF的長．

試題解析：（1）尺規作圖如圖1所示：

（2）①如圖2，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD，∴， ∵OD過圓心，∴OD⊥CB；

②∵AB為直徑，∴∠C=90°，∵OD⊥CB，∴∠OFB=90°，∴AC∥OD，∴，，即，∴OF=2，∵FD=5﹣2=3，在RT△OFB中，BF===，∵OD⊥BC，∴CF=BF=，∵AC∥OD，∴△EFD∽△ECA，∴，∴，∴EF=CF==．