Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點A、B（點A在點B的左側）與y軸交于點C（0，8），點D是拋物線上的動點，直線AD與y軸交于點K．

（1）填空：c= ；

（2）若點D的橫坐標為2，連接OD、CD、AC，以AC為直徑作⊙M，試判斷點D與⊙M的位置關系，并說明理由．

（3）在拋物線上是否存在點D，使得∠BAC=2∠BAD？若存在，試求出點D的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）點D在⊙M上．理由見試題解析；（3）D的坐標為（2，4）或（）．

【解析】

試題分析：（1）把C（0，8）代入拋物線y=﹣x2﹣x+c，計算即可求得c的值；

（2）點D與⊙M上，理由：由（1）得拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣x+8，進一步得到點D的坐標為（2，4），根據坐標軸上點的坐標特征可求點A的坐標為（﹣6，0），根據待定系數法可求直線AD的解析式，根據坐標軸上點的坐標特征可求點K的坐標為（0，3），在Rt△AOK中，根據三角函數得到tan∠KAO，作DE⊥y軸于點E，則DE=2，CE=8﹣4=4，在Rt△CED中，根據三角函數得到tan∠ECD，tan∠ECD==，可得∠KAO=∠ECD，進一步得到∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，可得點D在⊙M上．

（3）分兩種情況討論：i）當直線AD在x軸的上方時；ii）當直線AD在x軸的下方時，直線AD關于x軸的對稱圖形為直線AD'，進行討論，可求符合條件的點D的坐標．

試題解析：（1）把C（0，8）代入拋物線y=﹣x2﹣x+c，得c=8．

故答案為：8；

（2）點D與⊙M上，

理由如下：由（1）得：c=8，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣x+8，

當x=2時，y=﹣×22﹣×2+8=4，∴點D的坐標為（2，4），

在y=﹣x2﹣x+8中，令y=0，則﹣x2﹣x+8=0，

解得：x1=﹣6，x2=，∴點A的坐標為（﹣6，0）．

設直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），又∵直線過點A（﹣6，0）和點D（2，4），

∴，解得：，∴直線AD的解析式為y=x+3．

令x=0，則y=3，∴點K的坐標為（0，3）．

在Rt△AOK中，tan∠KAO=，

作DE⊥y軸于點E，則DE=2，CE=8﹣4=4，

在Rt△CED中，tan∠ECD，

∴tan∠KAO=tan∠ECD，

即∠KAO=∠ECD

∵∠KAO+∠AKO=90°，

又∵∠AKO=∠CKD，

∴∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，

∴點D在⊙M上．

（3）分兩種情況討論：i）當直線AD在x軸的上方時，由（2）中可知：tan∠ECD=，

在Rt△OED中，tan∠EOD=，∴tan∠ECD=tan∠EOD，∠ECD=∠EOD，CD=OD，

∵∠AOC=90°，∴點O在⊙M上．在⊙M中，= ，∠CAD=∠DAB，即∠BAC=2∠BAD，

∴點D（2，4）符合題意．

ii）當直線AD在x軸的下方時，直線AD關于x軸的對稱圖形為直線AD'，

設直線AD'上的任意一點為（m，n），則點（m，n）關于x軸的對稱點（m，﹣n）在直線AD上，

把點（m，﹣n）代入直線AD的解析式y=x+3，得：﹣n=m+3，n=﹣m﹣3，即y=﹣x﹣3，

聯立得：﹣x﹣3=﹣x2﹣x+8，

整理得：5x2+8x﹣132=0，

解得：x1=﹣6，x2=，

∴點D(，-）．

綜上，符合條件的點D的坐標為（2，4）或(，-）．