Question

【題目】在正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動(dòng)，另一邊交DC于點(diǎn)Q.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，猜想并寫(xiě)出PB與PQ所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想并寫(xiě)出PB與PQ滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）PB＝PQ.證明見(jiàn)解析；（2）PB＝PQ.證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，證明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；

（2）證明思路同（1）．

試題解析：（1）PB=PQ，

證明：過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，

∵P，C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四邊形PECF為正方形，

∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ；

（2）PB=PQ，

證明：過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，

∵P，C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四邊形PECF為正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ．