Question

【題目】如圖，四邊形 ABCD 是正方形，點 E，F 分別在 BC，CD 上，點 G 在 CD 的延長線上，且 BE=CF=DG 以線段AE，AG 為兩鄰邊作 AEHG．

（1）求證：四邊形 BEHF 是平行四邊形．

（2）若四邊形 ABCD 與 AEHG 的面積分別為 16，18．試求四邊形 BEHF 的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2．

【解析】

（1）由△ABE≌△BCF≌△ADG，推出AE=BF=AG，∠BAE=∠DAG，推出∠EAG=∠BAD=90°，由四邊形AEHG是平行四邊形，AG=AE，∠EAG=90°，推出四邊形AEHG是正方形，再證明BF=EH，BF∥EH即可解決問題；

（2）根據(jù)S平行四邊形BEHF=BECF，只要求出BE、CF即可解決問題．

（1）∵四邊形BCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCF=∠ADG=90°．

∵BE=CF=DG，∴△ABE≌△BCF≌△ADG，∴AE=BF=AG，∠BAE=∠DAG，∴∠EAG=∠BAD=90°．

∵四邊形AEHG是平行四邊形，AG=AE，∠EAG=90°，∴四邊形AEHG是正方形．

∵∠BAE=∠CBF，∠CBF+∠ABF=90°，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴AE⊥BF．

∵EH⊥AE，∴BF∥EH．

∵BF=AG=EH，∴四邊形BEHF是平行四邊形．

（2）∵四邊形ABCD與AEHG的面積分別為16，18，四邊形ABCD與AEHG都是正方形，∴AB=4，AE=3．在Rt△ABE中，BE，∴CF=BE，∴S平行四邊形BEHF=BECF=2．