Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的頂點為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對應的準碟形，線段AB稱為碟寬，頂點M稱為碟頂，點M到線段AB的劇烈為碟高．
（1）拋物線y=x2對應的碟寬為；拋物線y= x2對應的碟寬為；拋物線y=ax2（a＞0）對應的碟寬為；拋物線y=a（x﹣3）2+2（a＞0）對應的碟寬為；
（2）利用圖（1）中的結論：拋物線y=ax2﹣4ax﹣ （a＞0）對應的碟寬為6，求拋物線的解析式．
（3）將拋物線yn=anx2+bnx+cn（an＞0）的對應準蝶形記為Fn（n=1，2，3，…），定義F1 ， F2 ， …..Fn為相似準蝶形，相應的碟寬之比即為相似比．若Fn與Fn﹣1的相似比為 ，且Fn的碟頂是Fn﹣1的碟寬的中點，現在將（2）中求得的拋物線記為y1 ， 其對應的準蝶形記為F1 ．
①求拋物線y2的表達式；
②若F1的碟高為h1 ， F2的碟高為h2 ， …Fn的碟高為hn ． 則hn= ， Fn的碟寬右端點橫坐標為 ．

Answer 1

【答案】
（1）2；4；；
（2）

解：由（1）可知碟寬為 =6，

∴a= ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣

（3）；3+
【解析】解：（1）根據碟寬的定義以及等腰直角三角形的性質可以假設B（m，m）．①把B（m，m）代入y=x2 ， 得到m=1或0（舍棄），
∴A（﹣1，1），B（1，1），
∴AB=2，即碟寬為2．②把B（m，m）代入y= x2 ， 得到m=2或0（舍棄），
∴A（﹣2，2），B（2，2），
∴AB=4，即碟寬為4．③把B（m，m）代入y=ax2 ， 得到m= 或0（舍棄），
∴A（﹣ ， ），B（ ， ），
∴AB= ，即碟寬為 ．④根據碟寬的定義以及等腰直角三角形的性質，碟寬的大小與頂點的位置無關，所以 ．
故答案分別為2，4， ， ．（3）①∵y1= x2﹣ x﹣ = （x﹣2）2﹣3的碟寬AB在x軸上，（A在B左邊），
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴拋物線y2的頂點坐標為（2，0），
∵F2的碟寬：F1的碟寬=1：2，
∴ ： =1：2，
∵a1= ，
∴a2= ，
∴拋物線y2的解析式為y= （x﹣2）2 ． ②∵hn：hn﹣1=1：2，h1=3，
∴h2= ，h3= ，h4= ，…，hn= ，
點碟寬右端點B的 橫坐標，B1的橫坐標3，B2的橫坐標為3+ ，B3的橫坐標為3+ ，B4的橫坐標為3+ ，…Bn的橫坐標為3+ ，
所以答案是 ，3+ ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的概念(一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數)，還要掌握二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)的相關知識才是答題的關鍵．