Question

【題目】我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．

（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的一種圖形的名稱 ；

（2）如圖 1，已知格點（小正方形的頂點）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你直接寫出所有以格點為頂點，OA、OB 為勾股邊且有對角線相等的勾股四邊形 OAMB 的頂點M 的坐標： ；

（3）如圖 2，將△ABC 繞頂點 B 按順時針方向旋轉 60°，得到△DBE，連接 AD、DC，∠DCB=30°．求證： DC2 BC2 AC2 ，即四邊形 ABCD 是勾股四邊形；

（4）若將圖 2 中△ABC 繞頂點 B 按順時針方向旋轉 a 度（0°＜a ＜90°），得到△DBE，連接 AD、DC，則當∠DCB= °時，四邊形BECD 是勾股四邊形．

Answer 1

【答案】（1）矩形（正方形）；（2）M（3，4）；M（4，3）；（3）詳見解析；（4）α.

【解析】

（1）根據勾股四邊形的定義，可知正方形、矩形直角梯形都是勾股四邊形；
（2）如圖1中，以OA、OB為勾股邊且有對角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點M的坐標為（3，4）或（4，3）；
（3）如圖2，連接CE，只要證明△DCE是直角三角形即可解決問題．
（4）如圖3，當∠DCB= α，四邊形ABCD是勾股四邊形．連接CE，根據△DCE是直角三角形求出∠DCB即可．

（1）矩形（正方形）

（2）M（3，4）；M（4，3）

（3）連接CE，∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE

　∵∠CBE＝60°，∴△CBE是等邊三角形，

　∴BC＝BE，∠CBE＝60°，∵∠DCB＝30°

　∴∠DCE＝90°，∴DC２＋EC２＝DE２

　∴DC２＋BC２＝AC２，即四邊形ABCD是勾股四邊形.

（4）如圖 3, 當 ∠DCB=α ，四邊形 ABCD 是勾股四邊形.

理由：連接 CE ，

由旋轉得： △ABC ≌ △DBE ，

∴AC=DE ， BC=BE ，

又 ∵∠CBE=α ，

∴∠BCE=∠BEC=90°α ，

∴當∠DCB=α時，∠DCE=90° ，

∴DC2+EC2=DE2 .

∴ 即四邊形BECD 是勾股四邊形

故答案為：α.